х и областью определения Х . Тогда высказывательная форма вида f(x) = g(x) называется уравнением с одной переменной.

Значение переменной х из множества Х , при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство, называется корнем уравнения (или его решением). Решить уравнение - это значит найти множество его корней.

Множество значений переменной, при которых выражения f(x) и g(x) имеют смысл, называется областью определения уравнения
f(x) = g(x) . Множество решений уравнения является подмножеством области его определения.

Чтобы решить какое-либо уравнение, его сначала преобразовывают, заменяя другим, более простым; полученное уравнение опять преобразовывают, заменяя более простым, и т.д. Этот процесс продолжают до тех пор, пока не получают уравнение, корни которого можно найти известным способом. Но чтобы эти корни были корнями заданного уравнения, необходимо, чтобы в процессе преобразований получились уравнения, множества корней которых совпадают. Такие уравнения называются равносильными.

Замена уравнения равносильным ему уравнением называется преобразованием.

Преобразования, позволяющие получать равносильные уравнения, могут быть следующими:

1. Если к обеим частям уравнения f(x) = g(x) , определенного на множестве Х , прибавить одно и то же выражение h(x) , имеющее смысл на множестве Х , то получится уравнение f(x) + h(x) = g(x) + h(x) , равносильное данному.

Из данного утверждения вытекают следствия , которые используются при решении уравнений:

1) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

2) Если какое-либо слагаемое ( или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если обе части уравнения f(x) = g(x) , определенного на множестве Х , умножить на одно и то же выражение h(x) , имеющее смысл на множестве Х и не обращающееся на нем в нуль, то получится уравнение f(x) × h(x) = g(x)× h(x) , равносильное данному.

Из этого утверждения вытекает следствие:

Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

Задача. Установить, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) х 2 - 9 = 0 и (2х + 6)(х - 3) = 0;

б) (3х + 1) × 2 = 6х + 1 и х 2 + 1 = 0;

в) х 2 - х - 2 = 0 и (х - 1)(х + 2) = 0;

Решение. а) уравнения равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3; б) уравнения равносильны, так как оба не имеют корней, т.е. множества их решений совпадают; в) уравнения не являются равносильными, так как корнями первого уравнения являются числа -1 и 2, а второго - числа 1 и -2.

Задача. Решить уравнение и обосновать все преобразования, которые будут выполняться в процессе решения.

Решение.

Преобразования	Обоснование преобразований
1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: .	Выполнили тождественное преобра-зование выражения в левой части уравнения.
2. Отбросим общий знаменатель: 6 - 2х = х .	Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному.
3. Выражение --2х переносим в правую часть уравнения с противоположным знаком: 6 = х + 2х .	Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному.
4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х .	Выполнили тождественное преобра-зование выражения.
5. Разделим обе части уравнения на 3: х = 2.	Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному.

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - корень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х (х - 1) = 2х , х Î R . Разделим обе части на х , получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т.е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Нетрудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной
х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство
0 × (0 - 1) = 2 × 0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы потеряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х , то есть умножили на выражение , но при х = 0 оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравнения состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое решение. Перенесем выражение 2х из правой части в левую: х (х - 1) - 2х = 0. Вынесем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены:
х (х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и только в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому х = 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий.

Задача. Решить уравнение (х × 9) : 24 = 3, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий.

Решение. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х × 9 = 24 × 3, или х × 9 = 72. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72: 9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Уравнение 2х 4 + 4х 2 - 6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнение, а 2 и -1 не являются его корнями.

2. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве R :

а) 3 + 7х = -4 и 2(3 + 7х ) = -8; в) 3 + 7х = -4 и х + 2 = 0.

б) 3 + 7х = -4 и 6 + 7х = -1;

3. Решите уравнения и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

а) ; б) ; в) (2 - х ) × 2 - х (х + 1,5) = 4.

4. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70) × 4 = 328; в) (85х + 765) : 170 = 98;

б) 560: (х + 9) = 56; г) (х - 13581) : 709 = 306.

Уравнение - это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) - это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x - 15 = x + 15

Итак:

4х - х = 15 + 15

3х = 30

х = 30: 3

х = 10

Результат: уравнение имеет один корень - число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней.
Например, уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней.
Например, уравнение х + 2 = х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1 :

Уравнения х + 3 = 5 и 3х - 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х = 2.

Пример 2 :

Уравнения х 4 + 2 = 1 и х 2 + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

Целое уравнение с одной переменной - это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P (x ) = 0, где P (x ) - многочлен стандартного вида.

Например:
y 2 + 3y - 6 = 0
(здесь P (x ) представлен в виде многочлена y 2 + 3y - 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения .

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x - переменная, a и b - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x :

b
x = - —
a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax 2 + bx + c = 0,

где x - переменная, a, b, c - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

Если D > 0, то уравнение имеет два корня;

Если D = 0, то уравнение имеет один корень;

Если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax 3 + bx 2 + cx + d = 0,

где x - переменная, a, b, c, d - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0,

где x - переменная, a, b, c, d, e - некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n -й степени может иметь не более n корней.

Пример 1 : Решим уравнение

x 3 - 8x 2 - x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x 2 (x - 8) - (x - 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x 2 (x - 8) - 1(x - 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x 2 и -1, являющиеся множителями многочлена x -8. Получим две группы многочленов: (x 2 -1) и (x - 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x - 8)(x 2 - 1) = 0.

Здесь выражение x 2 - 1 можно представить в виде x 2 - 1 2 . А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x 2 - 1 2 = (x - 1)(x + 1). Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x - 8)(x - 1)(x + 1) = 0.

x - 8 = 0

x - 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x 1 = 0 + 8 = 8

x 2 = 0 + 1 = 1

x 3 = 0 - 1 = -1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и -1.

Пример 2 : Решим уравнение

(x 2 - 5x + 4)(x 2 - 5x +6) = 120

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом - методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x 2 - 5x .
Мы можем обозначить его переменной y . То есть представим, что x 2 - 5x = y .

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y 2 + 4y + 6y + 24 = 120

y 2 + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y 2 + 10y + 24 - 120 = 0

y 2 + 10y - 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y 2 + 10y - 96 = 0 имеет два корня:

y 1 = -16

y 2 = 6

Буквой y мы заменили выражение x 2 - 5x . А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y 1 = -16:

x 2 - 5x = -16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x 2 - 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y 2 = 6:

x 2 - 5x = 6

x 2 - 5x - 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x 1 = -1

x 2 = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: -1 и 6.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x 2 (такие уравнения называют биквадратными ).

При изучении русского языка в школе многие задавались вопросом: почему слово равнина пишется через а , ведь проверочное слово ровный пишется через о ? На самом деле ответ прост. Ведь равнина так называется потому, что все ее точки находятся на равном расстоянии (от уровня моря) и проверочное слово для неё — равно .

Определение: Уравнением с переменной x называется равенство вида A(x)=B(x), где A(x) и B(x) — выражения от x. Множество T значений x при подстановке которых в уравнение получается истинное числовое равенство, называют множеством истинности данного уравнения или решением данного уравнения, а каждое такое значение переменной — корнем уравнения .

Таким образом становится понятно, что основа любого уравнения это равенств о двух его частей. И когда при решении уравнений производятся над его частями это равенство всегда должно соблюдаться.

Методы решения уравнений с одной переменной

Существует огромное количество самых разнообразных видов уравнений для решения которых используются разные способы. Но для того чтобы легко решать уравнения вам необходимо знать три основных метода:

Тождественное преобразование уравнений

Разложение выражения на множители

Введение новой переменной

Тождественные преобразования уравнений

Наиболее простым и в то же время одним из самых распространенных способов решения уравнений является метод тождественных преобразований. В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными. Рассмотрим основные способы тождественных преобразований алгебраических выражений.

Примеры и формулы тождественных преобразований:

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Пример: 9x 2 + 12x + 10 = 15x + 10 → отнимем десять из обоих частей → 9x 2 + 12x = 15x

Второе тождественное преобразование : перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками.

Пример: 9x 2 + 12x = 15x → перенесем 15х влево → 9x 2 + 12x — 15x =0. После упрощения получаем: 9x 2 - 3x =0

Третье тождественное преобразование: обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя.

Пример: 9x 2 - 3x =0 → разделим обе части уравнения на три → 3x 2 - x =0

Четвертое тождественное преобразование: можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени . Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную может привести к приобретению посторонних корней ;
б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней .

Пример: 49x 2 = 1225 → извлечем корень квадратный из обеих частей → | 7x | = 35

Разложение выражения на множители

Перечислим теперь некоторые наиболее распространённые приёмы разложения многочленов, как наиболее простых алгебраических , на множители.

Вынесение общего множителя за скобку

В том случае, когда все члены многочлена имеют один и тот же общий множитель, его можно вынести за скобку, получая тем самым разложение многочлена.
Пример: Разложить на множители многочлен х 5 – 2х 3 +х 2 .
Решение: Каждое слагаемое этого многочлена содержит множитель х 2 . Вынесем его за скобку и получим ответ:

х 5 – 2х 3 +х 2 = х 2 (х 3 – 2x + 1).

Применение формул сокращённого умножения

Сокращения довольно эффективно применяются при разложении многочлена на множители. Полезно помнить следующие формулы:

1.Квадрат суммы двух величин равен квадрату первой плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2

2.Квадрат разности двух величин равен квадрату первой минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат второй.

(a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2

3.Произведение суммы двух величин на их разность равно разности их квадратов.

(a+b)(a-b)=a 2 -b 2

4.Куб суммы двух величин равен кубу первой плюс утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб второй.

(a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

5.Куб разности двух величин равен кубу первой минус утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб второй.

(a-b) 3 =a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3

6. Произведение суммы двух величин на неполный квадрат разности равно сумме их кубов.

(a+b)(a 2 -ab+b 2)=a 3 +b 3

7. Произведение разности двух величин на неполный квадрат суммы равно разности их кубов.

(a-b)(a 2 +ab+b 2)=a 3 -b 3

Пример: (3х+5) 2 =9х 2 +30х+25=0

Решение: используя формулу (1) 9х 2 +30х+25= (3х+5) 2

Применение выделения полного квадрата

Без преувеличения можно сказать, что метод выделения полного квадрата является одним из наиболее эффективных методов разложения на множители, применяемых при сдаче и

Равенство с переменной f(х) = g(х) называется уравнением с одной переменной х. Любое значение переменной, при котором f(х) и g(х) принимают равные числовые значения, называется корнем такого уравнения. Следовательно, решить уравнение – значит найти все корни уравнения или доказать, что их нет.

Уравнение x 2 + 1 = 0 не имеет действительных корней, но имеет корни мнимые: в данном случае это корни х 1 = i, х 2 = -i. В дальнейшем нас же будут интересовать лишь действительные корни уравнения.

Если уравнения имеют одинаковые корни, то они называются равносильными. Те уравнения, которые корней не имеют, относятся к равносильным.

Определим, равносильны ли уравнения:

а) х + 2 = 5 и х + 5 = 8

1. Решим первое уравнение

2. Решим второе уравнение

Корни уравнений совпадают, поэтому х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны.

б) x 2 + 1 = 0 и 2x 2 + 5 = 0

Оба данных уравнения не имеют действительных корней, поэтому являются равносильными.

в) х – 5 = 1 и x 2 = 36

1. Найдем корни первого уравнения

2. Найдем корни второго уравнения

х 1 = 6, х 2 = -6

Корни уравнений не совпадают, поэтому х – 5 = 1 и x 2 = 36 неравносильны.

При решении уравнения его стараются заменить равносильным, но более простым уравнением. Поэтому важно знать, в результате каких преобразований данное уравнение переходит в уравнений, равносильное ему.

Теорема 1. Если в уравнении из одной части в другую перенести какое-либо слагаемое, изменив при этом знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение x 2 + 2 = 3х равносильно уравнению x 2 + 2 – 3х = 0.

Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение (x 2 – 1)/3 = 2х равносильно уравнению x 2 – 1 = 6х. Обе части первого уравнения мы умножили на 3.

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида ах = b, где а и b – действительные числа, причем а называется коэффициентом при переменной, а b – свободным членом.

Рассмотрим три случая для линейного уравнения ах = b.

1. а ≠ 0. В таком случае х = b/а (т.к. а отлично от нуля).

2. а = 0, b = 0. Уравнение примет вид: 0 ∙ х = 0. Это уравнение верно при любом х, т.е. корень уравнения – любое действительное число.

3. а = 0, b ≠ 0. В данном случае уравнение не будет иметь корней, т.к. деление на нуль запрещено (0 ∙ х = b).

В результате преобразований многие уравнения сводятся к линейным.

Решим уравнения

а) (1/5)х + 2/15= 0

1. Перенесем компонент 2/15 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком. Такое преобразование регламентируется теоремой 1. Итак, уравнение примет вид: (1/5)х = -2/15.

2. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 15. Сделать это позволяет нам теорема 2. Итак, уравнение примет вид:

(1/5)х ∙ 15= – 2/15 ∙ 15

Т.о., корень уравнения равен -2/3.

б) 2/3 + х/4 + (1 – х)/6 = 5х/12 – 1

1. Чтобы избавиться от знаменателя, домножим обе части уравнения на 12 (по теореме 2). Уравнение примет вид:

12(2/3 + х/4 + (1 – х)/6) = 12(5х/12 – 1)

8 + 3х + 2 – 2х = 5х – 12

10 + х = 5х – 12

2. Пользуясь теоремой 1, «соберем» все числа справа, а компоненты с х – слева. Уравнение примет вид:

10 +12 = 5х – х

Т.о., корень уравнения равен 5,5.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.