Преображение выражений содержащих квадратные корни. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Урок алгебры в 8 классе
по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»
Учитель математики : Кирюхина Ю.А.
МОУ СОШ им. А.И. Панкова с. Головинщино
2010-2011 учебный год
Цели:
- повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;
- закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни;
- обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме;
- воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, интерес к предмету.
Оборудование : мультимедийный проектор , интерактивная доска, оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.
Ход урока.
I. Организационный момент
Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни, преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби. Подвести итоги сегодняшнего урока поможет оценочный лист. Подпишите свои листы и ответьте на первый вопрос «Настроение в начале урока», выбрав один из смайликов.
II. Сообщение темы урока
Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». (Слайд №1)
В математике есть нечто,
Вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф
(Слайд №2)
III. Устная работа
1) Фронтальный опрос. (Слайд №3)
- Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
- Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
- 2 ? (|х| ).
- Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х х. –х ).
2) Устный счёт (Слайд №4)
Ну-ка в сторону карандаши!
Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.
"Устный счёт!" Мы творим это дело
Только силой ума и души.
Цифры сходятся где-то во тьме,
И глаза начинают светиться,
И кругом только умные лица.
Потому что считаем в уме!
(Слайд №5-9)
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
2. Внесите множитель под знак корня:
3. Возведите в квадрат:
4. Приведите подобные слагаемые:
IV. Работа по теме урока
1 ) Индивидуальная работа (Слайд №10)
На «божьей коровке» есть красные, желтые и зеленые пятнышки. Зеленые соответствуют заданиям базового уровня, желтые – заданиям повышенного уровня, красные – заданиям высокого уровня. Учащиеся выбирают задание на свое усмотрение. Трое учащихся, получив задание, решают его в тетрадях. (Слайд №11-13)
2) Работа с интерактивной доской.
Остальные обучающиеся решают следующие задания:
1. Упростите выражение: а) 4b+4b-4b ; б) 9a+49a-64a;
В) 63-175+97 ; г) 28а+0,345с-418а+0,01500с.
2. Выполните действия и соотнесите с верным ответом: 15-1215-23 , 4+22-2 , 2-32+3 , 3-422 .
Ответы: -1; 6 - 22 ; 27-125;41-242 .
3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.
а) b5 ; б) 23; в) 737 ; г) ax+a .
4. Сократите дробь.
а) 5-x2 5+х ; б) а -2а2-2 ; в) 3-33; г) а+ba-b.
VI. Историческая справка (Слайд 14-16)
Radix- имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»
Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).
Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5
Позднее вместо точки стали ставить ромбик ¨ 5
Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.
VII. Тест (Слайд №17, 18)
Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».
На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста.
VI. Взаимопроверка (Слайд №19)
Код правильных ответов: I вариант – 12312, II вариант - 32132.
VIII. Физкультминутка для глаз (Слайд №20, 21)
VII. Домашнее задание. (Слайд №22)
VIII. Итог урока
Заполните до конца оценочный лист. (Слайд №23). Оценки за урок.
Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской. (Слайд №24, 25)
Если в жизни ты хоть на мгновенье
Истину в сердце своем ощутил,
Если луч света сквозь мрак и сомненье
Ярким сияньем твой путь озарил:
Что бы в решенье твоем неизменном
Рок ни назначил тебе впереди,
Память об этом мгновенье священном
Вечно храни, как святыню в груди.
Тучи сберутся громадой нестройной,
Небо покроется черною мглой,
С ясной решимостью, с верой спокойной
Бурю ты встреть и померься с грозой.
В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. Урок окончен. Спасибо за урок! (Слайд №26)
Приложение
ЛИСТ-ОПРОСНИК
Ф.И. ученика____________________________
1. Настроение в начале урока: а) б) в)
2. Мое восприятие темы урока:
а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.
3. Количество неправильных ответов теста: _________
4. Я работал(а) на уроке:
а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.
5. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)
6. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)
7. Настроение в конце урока: а) б в)
Тест I вариант 1. Упростите выражение 1) 2) 3) 2. Раскройте скобки и упростите выражение: 1) 18; 2) 12; 3) 22. 3. Упростите: 5+22 1); 2) ; 3) . 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе = 1) ; 2) ; 3) . 1) ; 2) ; 3); 4) | Тест II вариант 1. Упростите выражение 1) 3 ; 2) 33 ; 3) 63. 2. Раскройте скобки и упростите 1) 8; 2) 12; 3) 10. 3. Упростите: 3+52 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 411 1) ; 2); 3) . 5. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ; 2) ; 3); 4) |
Цели урока:
- Повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня.
- Обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме.
- Закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни.
- Дать возможность каждому ученику как можно более полно раскрыть свои возможности.
- Расширять кругозор и познакомить учащихся с математиками средних веков.
Тип урока: урок-практикум.
Оборудование урока: раздаточный материал, цветной мел, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакаты с формулами.
Ход урока
I. Организационный момент.
Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Это и преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.
II. Устный опрос по теории.
- Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
- Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
- Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х | ).
- Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х ).
III. Устная работа. (Записано на доске).
Найдите значение корня: |
|
Найдите значение выражения: |
|
Внесите множитель под знак корня: |
|
Сравните: |
|
IV. Отработка знаний по данной теме. (На партах у каждого листок с заданиями ).
1. Выполните действия.
- Как будем решать примеры а и б? (Раскроим скобки, приведём подобные слагаемые ).
- Как будем решать примеры в и г? (Применим формулу разности квадратов ).
- Как будем решать примеры д и е? (Вынесем множитель за знак корня и приведём подобные слагаемые ).
2 + 0,3- 4 + 0,01 |
|||||||||
3 + 0,5 - 2 + 0,01 |
(Ученики по вариантам выполняют примеры в тетрадях, 6 учеников по 1 примеру решают у задней доски ).
– Проверка через графопроектор. Каждому ответу соответствует определённая буква. В результате получаются слово: Декарт.
V. Историческая справка.
Ученик выступает с небольшим сообщением.
В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx. Однако долгое время писали Vа+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня . Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века. (На доске – портрет Рене Декарта, рисунок ).
VI. Отработка знаний по теме.
2. Разложите на множители.
а и б – разложим по формуле разности квадратов, в и г – используя определение арифметического квадратного корня, заменим 7 и 13 квадратами из квадратных корней, а потом вынесем за скобки общий множитель ).
а) а – 9, а≥0 |
||||
б) 16 – в, в≥0 |
||||
Ученики решают в тетрадях по вариантам, 2 человека (по одному от каждого варианта) решают у доски.
– Проверка.
3. Сократите дробь.
– Как будем выполнять это задание? (Разложим на множители или числитель, или знаменатель, а потом сократим ).
Муниципальное казенное образовательное учреждение
«Новоникольская средняя общеобразовательная школа»
Быковского муниципального района Волгоградской области
Урок алгебры в 8 классе
Выполнила : учитель математики
Новоникольское – 2015
Урок алгебры в 8 классе
по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»
Цели урока:
повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня;
закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни;
научить освобождаться от иррациональности в знаменателе дроби;
воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля, интерес к предмету.
Оборудование : мультимедийный проектор, интерактивная доска, оценочные листы, карточки с тестом, карточки с домашним заданием.
Ход урока:
I . Организационный момент
Сегодня на уроке мы с вами продолжим преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Подвести итоги сегодняшнего урока поможет оценочный лист. Подпишите свои листы и ответьте на первый вопрос «Настроение в начале урока», выбрав один из смайликов.
В математике есть нечто,
вызывающее человеческий восторг.
Ф. Хаусдорф
II . Устная работа
1) Фронтальный опрос.
Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х| ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? хх. –х ).
2) Устный счёт: Ну-ка в сторону карандаши!
Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.
"Устный счёт!" Мы творим это дело
Только силой ума и души.
Цифры сходятся где-то во тьме,
И глаза начинают светиться,
И кругом только умные лица.
Потому что считаем в уме!
Вычислите устно:
1. Вынесите множитель из-под знака корня:
2. Внесите множитель под знак корня:
3. Возведите в квадрат:
4. Приведите подобные слагаемые:
III . Диктант:
Вариант-1 | Вариант- 2 | Ответы: | Ответы: |
IV .ФИЗКУЛЬТМИНУТКА
V . Историческая справка
Radix - имеет два значения: сторона и корень. Греческие математики вместо «извлечь корень» говорили «найти сторону квадрата по его данной величине (площади)»
Начиная с XIII века, итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом Radix или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»).
Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались
точкой ·5
Позднее вместо точки стали ставить ромбик ¨5
Затем Ú 5 . Затем знак Ú и черту стали соединять.
VI этап. Работа над новым материалом.
Если знаменатель алгебраической дроби содержит знак квадратного корня, то обычно говорят, что в знаменателе содержится иррациональность.
Ставится проблема: « Какое выражение проще вычислить: или ? Почему? (Потому, что делить на рациональное число проще, чем на иррациональное.)
Сегодня на уроке мы и будем изучать тему
« Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби». Попробуем освободиться от иррациональности в знаменателе в следующих примерах:
а); б) ; в); г).
На какое выражение нужно умножить знаменатель дроби, чтобы корни «исчезли»? А для того чтобы дробь не изменилась, что нужно сделать? Получаем следующую запись решения.
г)=
Сделаем вывод.
Преобразование, при котором в знаменателе дроби исчезают корни, называют освобождением от иррациональности в знаменателе. Мы увидели два основных приема освобождения от иррациональности в знаменателе:
VII . Закрепление темы : Учебник. Стр.98 № 431(а,б,ж,з), №433(а,б,в)
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) ; б) в); г) .
VII I . Тест (работа в парах )
Английский философ Герберт Спенсер говорил: «Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы».
На этом этапе урока необходимо применить свои знания к решению упражнений в ходе выполнения теста. (тест прилагается )
Самопроверка:
Код правильных ответов: I вариант – 12312 , II вариант - 32132.
Домашнее задание: №431(з,и), №432, №433(г,д,е)
IX . Итог урока:
Заполните до конца оценочный лист. Оценки за урок.
Закончить урок я хочу стихотворением великого математика Софьи Ковалевской.
Небо покроется черною мглой,
В этом стихотворении выражено стремление к знаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути. А как мы сегодня с вами преодолевали преграды? Чем мы занимались на уроке?
- Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Расширили свой кругозор и узнали, кто впервые ввёл современный знак корня во всеобщее употребление.
Все работали плодотворно, активно и коллективно в течении урока.
Урок окончен. Всем спасибо за урок!
ЛИСТ-ОПРОСНИК
Ф.И. ученика____________________________
1. Настроение в начале урока: а) б) в)
2. Мое восприятие темы урока:
а) усвоил(а) все; б) усвоил(а) почти все; в) усвоил(а) частично, нуждаюсь в помощи.
3.Оценка за диктант:
4. Количество неправильных ответов теста: _________
5. Я работал(а) на уроке:
а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно; г) неудовлетворительно.
6. Я оцениваю свою работу на ______ (поставьте оценку)
7. Я оцениваю урок на _____ (поставьте оценку)
8. Настроение в конце урока: а) б в)
Тест I вариант 1. Упростите выражение 1) 2) 3) 2. Раскройте скобки и упростите выражение: 1) 18; 2) 12; 3) 22. 3. Упростите: 1); 2) ; 3) . 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе = 1) ; 2) ; 3) . 1) ; 2) ; 3); 4) | Тест II вариант 1. Упростите выражение 1); 2) ; 3) 2. Раскройте скобки и упростите 1) 8; 2) 12; 3) 10. 3. Упростите: 4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 1) ; 2); 3) . 5. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) ; 2)
; 3) Ни костяшек, ни ручек, ни мела. Ну-ка, в сторону карандаши! "Устный счёт!" Мы творим это дело Только силой ума и души. Цифры сходятся где-то во тьме, И глаза начинают светиться, И кругом только умные лица. Потому что считаем в уме! ![]() Устный счёт Вынесите множитель из-под знака корня: Немного подумайте ![]() Устный счёт
Немного подумайте ![]() Устный счёт Возведите в квадрат: Немного подумайте ![]() Устный счёт Приведите подобные слагаемые: Немного подумайте ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() III . Диктант: Вариант-1 Вариант- 2 Ответы: Ответы: ![]() ![]()
![]() Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5 Позднее вместо точки стали ставить ромбик 5 Затем 5 . Затем знак и черту стали соединять. ![]() ![]() Взаимопроверка I вариант II вариант п.19, стр. 96, пример 3 № 431 (з, и), №432, №433 (г, д, е) Если в жизни ты хоть на мгновенье Истину в сердце своем ощутил, Если луч света сквозь мрак и сомненье Ярким сияньем твой путь озарил: Что бы в решенье твоем неизменном Рок ни назначил тебе впереди, Память об этом мгновенье священном Вечно храни, как святыню в груди. Тучи сберутся громадой нестройной, Небо покроется черною мглой, С ясной решимостью, с верой спокойной Бурю ты встреть и померься с грозой. |
Добрый день!
Всех гостей приветствуют учитель I категории
Гирина Ирина Валерьевна
и обучающиеся 8 класса
ОУ «Луговская школа»!
![](https://i1.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img1.jpg)
Философия Фалеса Милетского
Что легко?
Что трудно?
Кто счастлив?
Давать советы другим
Познать самого себя
Тот, кто здоров телом, одарен спокойствием духа и развивает свои дарования
![](https://i0.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img2.jpg)
![](https://i0.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img3.jpg)
![](https://i1.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img4.jpg)
Упростите выражения:
Сравните выражения:
![](https://i1.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img5.jpg)
15.02.17. Классная работа
Тождественные преобразования выражений, содержащих
квадратные корни.
![](https://i0.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img6.jpg)
Цель: изучение…
способов тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни
1. Определить способы;
2. Сформулировать правила;
3. Составить алгоритм;
4. Научиться применять алгоритм для преобразования выражений, содержащих квадратные корни
![](https://i1.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img7.jpg)
Тождественные преобразования выражений, содержащих квадратные корни
Вынесение множителя из-под знака корня
Внесение множителя под знак корня
![](https://i0.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img8.jpg)
Вынесение множителя из-под знака корня
Внесение множителя под знак корня
Для вынесения множителя из-под знака корня, надо подкоренное выражение разложить на множители так, чтобы один из них являлся полным квадратом
Для внесения множителя под знак корня, надо множитель возвести в квадрат; произведение квадрата множителя и подкоренного выражения записать под знак корня
![](https://i0.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img9.jpg)
3. Применить данный способ для выполнения задания.
![](https://i1.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img10.jpg)
Выводы: изучили…
способы тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни
Для этого мы решили следующие задачи:
1. Определили способы;
2. Сформулировали правило;
3. Составили алгоритм;
4. Научились применять алгоритм для тождественных преобразований выражений, содержащих квадратные корни
![](https://i2.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img11.jpg)
Рефлексия
Результатом нашего урока
будет то, что мы
правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня
ПРИМЕНЯТЬ правила внесения множителя под знак корня и вынесения множителя из-под знака корня
Выполните тест
«Диагностика уровня математических способностей»
![](https://i1.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img12.jpg)
Итог урока и домашнее задание
Закрепить знание правил.
По № 524 - № 528 составить тест
из 10 вопросов с 4 вариантами ответов.
![](https://i1.wp.com/cdn2.arhivurokov.ru/multiurok/html/2017/11/01/s_59fa21186b18b/img13.jpg)
1. Конспект урока по теме: «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни» Предмет: алгебра, класс: 8, авторы учебника: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова под ред. С.А. Теляковского. Тема урока: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни (§ 7, п. 19). Всего часов на тему: 16 Номер урока в теме: 14 Тип урока: обобщение и систематизация знаний. Цель урока: организация условий достижения учащимися образовательных результатов по теме: «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни» обобщить и систематизировать знания учащихся о преобразованиях выражений, в т.ч. содержащих квадратные корни; развивать активность, инициативность, самостоятельность, взаимопомощь при выполнении заданий в ходе решения задач по теме; инициировать творческую, исследовательскую и проектную деятельность учащихся; формирование метапредметных УУД (регулятивных, познавательных, коммуникативных); установление взаимосвязи между компонентами и результатами действий; проведение контроля полученных знаний и умений; использование здоровьесберегающих технологий в процессе урока. Задачи урока: обобщение учащимися предметного (теоретического и практического) содержания по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»: умение применять знания и умения по теме для решения практических задач, контроль уровня освоения материала, развитие метапредметных универсальных учебных действий. Предметные Знает: предписания для Планируемые образовательные результаты Метапредметные (УУД) Регулятивные Познавательные Коммуникативные постановка учебной принятие и строит монологические цели в процессе освоения сохранение высказывания в устной Личностные установление значения преобразования выражений, содержащих квадратные корни; Умеет: вносить множитель под знак корня, выносить множитель из-под знака корня; избавляться от иррациональности в знаменателе дроби; упрощать выражения, содержащие квадратные корни; применять для упрощения выражений, содержащих квадратные корни, разложение на множители, в том числе с использованием формул сокращенного умножения. учебной информации; соотнесение выявленной учебной информации с собственными знаниями и умениями; принятие решения об использовании помощи; контроль усвоения учебной информации; оценивание результатов выполненной деятельности; самодиагностика и коррекция собственных учебных действий. познавательной цели; структурирование информации и знаний и её понимание; выполнение знаковосимволических действий выбор эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности построение логической цепи рассуждения. форме; работает в группе, оказываете взаимопомощь, рецензирует ответы товарищей; организует взаимоконтроль, взаимопроверку и др. на всех этапах учебнопознавательной деятельности; выступает с сообщениями по истории математики, связи математики с искусством, практикой и др.; участвует в обсуждении выступлений. результатов своей деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, интересов; положительное отношение к учению, к познавательной деятельности, желание приобретать новые знания, умения, совершенствовать имеющиеся; осознавать свои трудности и стремиться к их преодолению. Задания для урока Задание 1 Преобразование рациональных выражений a c ac Сложение дробей с одинаковыми знаменателями b b b 1. Сложить числители (при сложении числителей раскрыть скобки и привести подобные слагаемые). 2. Знаменатель оставить прежним. 3. Полученный результат (дробь) по возможности сократить, представив числитель и знаменатель в виде произведения. Сложение дробей с разными знаменателями a c ad cb b d bd 1. Разложить на множители знаменатели. 2. Найти наименьший общий знаменатель (произведение всех множителей знаменателей, взятых по одному, в наибольшей степени). 3. Найти дополнительные множители для каждой дроби. 4. Домножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель. 5. Сложить дроби с одинаковыми знаменателями (алгоритм 1). Умножение дробей a c ac b d bd 1. Разложить на множители числитель и знаменатель каждой дроби. 2. Перемножить числители, не раскрывая скобок, записать в числителе. Перемножить знаменатели, не раскрывая скобки, запивать в знаменателе. 3. Полученный результат по возможности сократить. a c a d ad Деление дробей: b d b c bc 1. Первую дробь умножить на дробь обратную второй. 2. Смотреть алгоритм умножения дробей. Способы разложения на множители 1.Вынести общий множитель за скобку (если он есть) ab±ac = a(b±c) 2.Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения 3.Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели) ab+dc+ac+db=a(b+c)+d(b+c)=(b+c)(a+d) Преобразование выражений, содержащих корни Алгоритм вынесения множителя из-под знака корня 1. Представим подкоренное выражение в виде произведения таких множителей, чтобы из одного можно было бы извлечь квадратный корень. 2. Применим теорему о корне из произведения. 3. Извлечь корень Алгоритм внесения множителя под знак корня 1. Представим произведение в виде арифметического квадратного корня. 2. Преобразуем произведение квадратных корней в квадратный корень из произведения подкоренных выражений. 3. Выполним умножение под знаком корня. Алгоритм освобождения от иррациональности в знаменателе дроби 1. Разложить знаменатель дроби на множители. 2. Если знаменатель имеет вид или содержит множитель числитель и знаменатель следует умножить на, то. Если знаменатель имеет вид или или содержит множитель такого вида, то числитель и знаменатель дроби следует умножить соответственно на или на. 3. 3) Преобразовать числитель и знаменатель дроби, если возможно, то сократить полученную дробь. Задание 2 1 уровень 2 уровень 1. Упростите выражения: а)4 2 50 18 1. Упростите выражения: 1 a) 12 2 27 75 2 б)3 2 (5 2 32) б) 3 (2 3 12) в)(5 2) 2 г)(3 2)(3 2) 2. Сократите дроби: 3 3 b2 3. Решите уравнение, а) ; б) 2 3 (b 2) (b 2) предварительно упростив его правую часть: x 2 36 100 в) 4 5 2 2. Сократите дроби: 1. Упростите выражение: а) 4√ + 4√ − 4√; б) √9 + √49 − √64; в) √63 − √175 + 9√7; г) 2√8а + 0,3√45с − 4√18а + 0,01√500с. 2. Выполните действия и соотнесите с верным ответом: -1 (√15 − √12)(√15 − 2√3) 6 -2√2 (4 + √2)(2 − √2) (√2 − √3)(√2 + √3) 27 − 12√5 2 41 − 24√2 (3 − 4√2) 3. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби. 2 7 а) ; б) ; в)3√7; г) + . √5 √3 √ √ 4. Сократите дробь. √5+х; б) а −√2 а2 −2 ; в) 3−√3 √3 ; г) √а+√ . − а) 5 5 ; б) 4b 2 10 5 2 2 b 2 3. Докажите, что данное уравнение имеет целые корни, и найдите их: Задание 3 5− 2 2 г)(7 2 3)(7 2 3) x2 а) 10 3 10 3 Задание 4 2 уровень 1 уровень Упростите выражение 1. √2 , если > 0, 2. √ 2 , если с < 0, 3. 3√с + 8√с − 9√с. Выполните действия 4. (2 + √3) ∙ (1 − √3) 5. (√2 + с) ∙ (с − √2) Освободитесь от иррациональности в знаменателе 6. . Вычислить 1. √852 − 842 Упростить выражение 2. -2√0.81а2 , если а<0 3. √10, если a>0 4. (5√7 - √63 + √14) √7 5. (5√3- √11) ∙ (√11 + 5√3) Сократить дробь 6. √3 а2 −3 (а+ √3) Освободиться от иррациональности в знаменателе № задания 1 2 3 А К Д Е -m c 3√ −√3 −2 -2m √ 2√ √3 +2 m 2c -2√ −2 + √3 √ -c2 2c −√3 +2 5 c2+2 c-2 2 − √2 c2-2 6 3 3√ 3 2 3 √3 3 4 Р 2 7. Т 2 m -c 20c -m -√ -2c 2√3 −2√3 − √2 3 2 2 − 2√2 √3 3 4 √10+√6 Номер У задания 1 10 2 1.8а 3 2 4 14 - 7√2 5 6 75 а + √3 7 √10+√6 Д Л Ь Р Ф О 12 -а 5 14√27 11 √а - 3 13 0.8а −5 2√14 -7 86 √а + 3 10 + √6 8 а −2 72√7 -64 а√3 4√10 -6 15 2а 10 12 + √7 64 а2 - 3 14 -2а −10 7+ √14 -86 а2 +3 √10 √6 -12 0.9а 14+7 √2 -75 3√а 2 √16 6+ √10 Задание 5 1 уровень 2 уровень 64√10 1. Упростите выражения: 1 a) 12 2 27 75 2 б)3 2 (5 2 32) в) 4 5 2 1. Упростите выражения: 1 3 а) 300 4 75 5 16 8 2 в) 5 2 3 5 г)1 3 7 83 7 8 б) 3 2 1 2 2 г)(7 2 3)(7 2 3) 2. Сократите дроби: а) 5 5 10 5 2 ; б) 4b 2 2. Сократите дроби: а) 2 b 2 3. Решите уравнение: x2 100 6 2 2 6 6 3 ; б) 4а 2 4а b b 4a 2 b 3. Решите уравнение: 100 6 x 2 6 2 5 6 2 5 2 Организационная структура урока Этапы урока Организационный момент Девиз урока: «В математике есть нечто, вызывающее человеческий восторг» Ф. Хаусдорф Задачи этапа Проверка готовности к уроку. Положительный настрой на урок. Мотивация Определение темы, целей и задач урока. Самоопределение в деятельности. Мотивация учебной деятельности. Деятельность учителя Приветствует учащихся, проверяет готовность учащихся к уроку, отмечает отсутствующих, организует заполнение оценочных листов. Деятельность учащихся Приветствуют учителя, проверяют свою готовность к уроку, заполняют оценочные листы Приложение 4. Помогает учащимся сформулировать тему, задачи, цели и содержание урока (фронтальная работа с классом). Задание: О чем идет речь в этих высказываниях? «Он есть у дерева, цветка, он есть у уравнений. Формулируют задачи и цели урока, отвечают на вопросы учителя, записывают тему урока в тетрадь. Работают в парах с карточкой, лежащей на партах «Возьмем на заметку» Приложение 1; Время 1 4 Экскурс в историю Актуализация знаний Практикум 1. Индивидуальная работа Развитие познавательной активности, кругозора, интереса к предмету. Проводится актуализация знаний, организация деятельности учащихся по систематизации учебной информации на уровне «знание» Организация деятельности учащихся по освоению учебной информации на уровне «умения». И знак особый – радикал, с ним связан, вне сомнений. Заданий многих он итог, и с этим мы не спорим Надеемся, что каждый смог ответить: это… (корень)». Помогает подвести итоги групповой работы. Организует учебный процесс 1. Проверить у учащихся знания теории по теме (предписания для преобразования выражений, в т.ч. содержащих квадратные корни). Задание 1 2. Проверить выполнения домашнего задания. (фронтальная работа с классом). Контроль выполнения работы учащимися. Поясняет принцип индивидуальной работы. На «мухоморе» есть белые и желтые пятнышки. Белые соответствуют заданиям базового уровня, желтые – заданиям повышенного уровня. Учащиеся выбирают задание на свое усмотрение Задание 2. Организует работу со всем выполняют задание «Получи рисунок» Приложение 2. Подводят итоги работы, сверяют результат с доской. (результаты заносят в оценочный лист). Ученик рассказывает классу исторические сведения по истории возникновения знака радикала Приложение 3. Отвечают на вопросы учителя, составляют схемы и предписания в тетради, сверяют их с доской. 2 Самопроверка и самооценка д.з. 5 (выставляют результаты в оценочный лист). Четверо учащихся, выбрав задания на свое усмотрение, решают их индивидуально в тетрадях. Затем включаются в общую работу. 15 По одному ученику работают классом Задание 3. 2. Работа с доской Физкультминутка Самостоятельная работа Снятие напряжения, разгрузка Организует процесс отдыха с помощью ЭОР (физкультминутка с сайта videouroki.net). Проведение контроля и Организует и контролирует оценки своих действий, процесс решения задач Задание внесение соответствующих 4. корректив в их выполнение. Самопроверка Итоги урока Организует проверку самостоятельной работы. Выявляет качество и уровень усвоения знаний, а также устанавливает причины выявленных ошибок. Подведение итогов. Проведение самоанализа и самооценки собственной деятельности на уроке. Направляет деятельность учеников по самооцениванию работы на уроке. Подводит общий итог, оглашает свои оценки активно работавшим ученикам. Выявляет качество и уровень усвоения знаний, а также устанавливает причины выявленных ошибок. у доски, остальные в тетрадях. Выполняют упражнения. 2 Самостоятельно работают над заданиями (карточки по уровням). В результате получают имена известных математиков, которые звучали в исторической справке на уроке. Учащиеся анализируют свою работу, выражают вслух свои затруднения и обсуждают правильность решения задач. Самооценку за самостоятельную работу выставляют в оценочный лист. Учащиеся самостоятельно оценивают свою работу на уроке, выставляют оценку в оценочный лист. 10 2 2 Домашнее задание. Обеспечение понимания учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания. Оканчание урока. Дает указания по выполнению д.з. Задание 5. Учащиеся получают д.з., записывают в дневник, задают вопросы учителю. Благодарит учащихся за урок. Ученики приводят в порядок рабочее место, сдают оценочные листы на стол учителя. Прощаются с учителем. 2 Приложение 1 Возьмем на заметку 1. Приблизительно 75% болезней взрослых заработаны в детские годы. Курящие дети сокращают себе жизнь на √225 %. Определите продолжительность жизни нынешних курящих детей, если средняя продолжительность жизни в России 56 лет? 2. Мы смотрим телевизор часами, целый день сидим за компьютером без перерывов, разговариваем по сотовому телефону без остановки, а потом не можем понять, почему же у нас так сильно болит голова и мы так устали, что ничего не видим. Помни! На компьютере рекомендуется работать не более √400 минут, а потом необходима зарядка для глаз. По сотовым телефонам нужно разговаривать не более √1600 секунд. Смотреть телевизор не более √4 часов. 3. Заботящийся о своём здоровье ученик должен правильно питаться. 1 1 1 В день можно съедать не более √100 кг сладостей, дневная норма потребления хлеба составляет √25 кг, сливочного масла √64 кг. Сколько граммов сладостей, хлеба, сливочного масла может съедать в день ученик? Приложение 2 -16 100 441 17 -10 -3 11 625 12 -2,1 36 -9 18 -2,4 -2 -6 0 8 55 5 25 49 13 54 3 169 1 14 94 6 7 75 81 45 9 0,7 -5 121 16 34 -2,7 -3,7 Приложение 3 Начиная с XIII века итальянские и другие европейские математики обозначали корень латинским словом radix (сокращенно r) или сокращенно R (отсюда произошёл термин «радикал»). Немецкие математики XV в. для обозначения квадратного корня пользовались точкой ·5. Позднее вместо точки стали ставить ромбик 5. В 1525 г. в книге Х.Рудольфа «Быстрый и красивый счет при помощи искусных правил алгебры, обычно называемых «Косс»» появилось обозначение V для квадратного корня. В 1626 г. голландский математик А.Жирар ввел обозначения V, которое вскоре вытеснило знак r, при этом над подкоренным выражением ставилась горизонтальная черта. Современное обозначение корня впервые появилось в книге Рене Декарта «Геометрия», изданной в 1637 году. Приложение 4 Фамилия имя ученика класс дата Самооценка за домашнее задание Самооценка за устную Оценка учителя за работу индивидуальную работу Самооценка за самостоятельную работу Общая оценка за урок